\section{Fermat 大 定 理}


\begin{frame}{Fermat 大 定 理}
大约 1637 年， Pierre de Fermat (1601-1665) 写下猜想：
\[
  \text{$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ($n \geqslant 3$) 没有非零整数解。 }
\]
后来此猜想被称为 Fermat 大定理 (Fermat's last theorem), 是数学史上最经典著名的问题。
直到 350 多年后， 1994 年 9 月 19 日， Andrew John Wiles %(安德鲁 - 怀尔斯， 1953-)
经 8 年卓绝的奋斗， 
才最终证明了 Fermat 大定理， 被世界公认是现代数学最伟大的成就。

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Fermat 自己实际上只证明了(和公开发布) $4$ 次的情形， 并总结出著名的 “无穷递降法”(后来大有发展). 
本节给出 Fermat 大定理 $4$ 次情形的证明，这也是很经典的。 
我们还将在 \S7.1 的定理 4 给出 $3$ 次情形下的 Fermat 大定理的证明。

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\begin{theorem}%定理1
不定方程
\begin{equation*}
x^{4}+y^{4}=z^{2} \tag{1}
\end{equation*}
没有 $x y z \neq 0$ 的整数解 (使 $x y z=0$ 的解称为\emph{平凡解})。
\end{theorem}
\pause
   定理 1 的几何意义是： 不存在两直角边均为平方数的整边直角三角形。

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\begin{proof}
   用反证法。 若方程有非平凡解， 则有正整数解 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, 
  且 $x_{0}$, $y_{0}, z_{0}$ 互素
  \pause
 (否则有素数 $p$ 使 $x_{0}=p x_{1}, y_{0}=p y_{1}, z_{0}=p z_{1}, p^{4} x_{1}^{4}+p^{4} y_{1}^{4}=p^{2} z_{1}^{2}$, 
 则 $p^{4}\mid p^{2} z_{1}^{2}, p\mid  z_{1}$, 可设 $z_{1}=p z_{2}$, 故有 $x_{1}^{4}+y_{1}^{4}=z_{2}^{2}$, 得新解 $x_{1}, y_{1}, z_{2}$. 
  若其还有公因子， 可继续除去)。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{proof}[续]
      于是 $\left(x_{0}^{2}, y_{0}^{2}, z_{0}\right)$ 是勾股数组。
      %， 且 $\left(x_{0}, y_{0}\right)=1$ (否则有素数 $p \mid\left(x_{0}\right.$, $\left.y_{0}\right)$, 从而 $p\mid z_{0}^{2}, p\mid  z_{0}$, 与 $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ 互素矛盾). 
 故由上节勾股数定理知， $x_{0}$与 $y_{0}$ 是一奇一偶， 不妨设 $x_{0}$ 为奇数， $y_{0}$ 为偶数， %$z_{0}$ 为奇数， 且
 此时有互素正整数 $m$, $n$ 使
 \[
   x_{0}^{2}=m^{2}-n^{2}, \quad y_{0}^{2}=2 m n, \quad z_{0}=m^{2}+n^{2}.
 \]
% \pause
 %由 $1 \equiv x_{0}^{2}=m^{2}-n^{2}\left(\mod  4\right)$ 知， $m$ 为奇数， $n$ 为偶数。
 \pause
 由于 $x_{0}^{2}+n^{2}=m^{2}$且 $x_0$奇，$(x_0,n,m)=1$, 再次用上节勾股数定理，知有互素且奇偶性不同的整数$u>v>0$ 使得
\[
  x_{0}=u^{2}-v^{2}, \quad n=2 u v, \quad m=u^{2}+v^{2}.
\]
\pause
故 $y_{0}^{2}=2 m n=4 u v\left(u^{2}+v^{2}\right)$. 从而$uv(u^2+v^2)=(\frac{y_0}{2})^2$为平方数。
而 $u, v, u^{2}+v^{2}$ 两两互素（因为$u, v$互素）， 由唯一析因定理知它们都是平方数，即得
\[
u=r^{2}, \quad v=s^{2}, \quad t^{2}=u^{2}+v^{2}=r^{4}+s^{4},
\]
其中$r, s, t$ 为互素正整数。
\pause
最后式说明 $( r, s, t )$ 是原方程 (1) 的解， 且有
\[
z_{0}=m^{2}+n^{2}>m^{2}=t^{4} \geqslant t .
\]
\pause
上述论证说明， 原方程如果有正整数解 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ (可设是本原解， 即 $x_{0}$, $y_{0}, z_{0}$ 为互素正整数), 则由此解可找到另一本原解 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 使 $z_{0}>z_{1}$. 于是， 同理又可得本原解 $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 使 $z_{1}>z_{2}$. 如此继续， 可得 $z_{0}>z_{1}>z_{2}>z_{3}>\cdots$.
  但正整数不可能这样 “无穷递降”下去， 这导致矛盾， 故原方程无整数解。
\end{proof}

 \end{frame}


 \begin{frame}
   以上证法的思路， 即著名的 \emph{Fermat 无穷递降法}。无穷下降法基于正整数的良序性，运用反证法，通过揭示每一个解都有一个“更小”的解，进而与良序性相悖，最终达到证明解不存在的目的。

      \pause
   \begin{theorem}%定理2
     [Fermat 定理的 $4$ 次情形] 不定方程
     \(%\begin{equation*}
     x^{4}+y^{4}=z^{4} %\tag{2}
% \end{equation*}
   \)
 没有 $x y z \neq 0$ 的整数解。
 \end{theorem}

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 \begin{proof}
  若此方程有解 $(x, y, z)$, 则 $\left(x, y, z^{2}\right)$ 是方程 (1) 的解。 矛盾。
\end{proof}

\pause
\begin{corollary}%系1
对 Fermat 大定理， 在证明 $n=4$ 情形之后， 只需对 $n=p$ 为奇素数情形证明。% (即只需证明 $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 无整数解).
\end{corollary}

\begin{proof}
 任意整数 $n \geqslant 3$ 必含有因子 $4$ 或 $p$ (奇素数), 即 $n=4 n_{1}$ 或 $p n_{1}$. 假若 Fermat 方程 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 有非零整数解， 则可改写为如下之一：
 \[
(x^{n_{1}})^{4}+(y^{n_{1}})^{4}=(z^{n_{1}})^{4}, \quad
(x^{n_{1}})^{p}+(y^{n_{1}})^{p}=(z^{n_{1}})^{p} .
 \]
 这分别意味着 $(x^{n_{1}}, y^{n_{1}}, z^{n_{1}})$ 是 Fermat 方程对 $n=4$ 或 $p$ 情形的解。 即得系 1.
 \end{proof}
 \end{frame}


 \begin{frame}{abc猜想}
   1985 年，约瑟夫·欧斯特列 (Joseph Oesterlé) 和大卫·马瑟 (David Masser) 提出了一
个猜想， 并激起了众多数学家的兴趣。 如果这个猜想是成立的， 那么它可以用来求解很多
著名的丢番图方程。 在介绍这个猜想之前， 我们先引入一些符号。
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\begin{definition}
设 \( n \) 为一个正整数，则 \( \operatorname{rad}\left( n\right) \) 表示 \( n \) 的不同素因子的乘积。 
\( \operatorname{rad}\left( n\right) \) 也被称为 \( n \)的\emph{无平方部分}，
因为它可以通过消去 \( n \) 的素因子分解式中那些产生平方项的因子得到。
\end{definition}

\pause
\begin{example}
  如果 \( n = {2}^{4} \cdot  {3}^{2} \cdot  {5}^{3} \cdot  {7}^{2} \cdot  {11} \),
  那么 \( \operatorname{rad}\left( n\right)  = 2 \cdot  3 \cdot  5 \cdot  7 \cdot  {11} = {2310} \).
\end{example}

\pause
我们现在给出这个猜想。
\begin{theorem*}[\( {abc} \) 猜想]
  对于任意实数 \( \varepsilon  > 0 \),
  存在一个常数 \( K\left( \varepsilon \right) \),
  使得如果存在正整数 \( a,b,c \) 满足
\( a + b = c \) 和 \( \left( {a,b}\right)  = 1 \),
那么就有
\[
\max \left( {\left| a\right| ,\left| b\right| ,\left| c\right| }\right)  < K( \varepsilon ) {\left( \operatorname{rad}\left( abc\right) \right) }^{1 + \varepsilon }. \]
\end{theorem*}

\pause
一些很深刻的结果已经被证明是该猜想的推论。 %如果要展开讲这个猜想的背景和机， 那我们就会离主题太远了。 若想了解该猜想的由来和有关结果， 可以参阅[GrTu02]和[Ma00]. 
在下面的例子中，我们将展示 \( {abc} \) 猜想是如何用于证明与费马大定理相关的结论的。
\end{frame}


 \begin{frame}
 \begin{example}
 应用 \( {abc} \) 猜想得到一个费马大定理的局部解。 
% 下面讨论的依据是格兰维尔 (Granville)和塔克(Tucker)[GrTu02]的结果。 
\pause
 假设有
 \[ {x}^{n} + {y}^{n} = {z}^{n}, \]
 其中 \( x,y,z \) 是两两互素的正整数。 
 令 \( a = {x}^{n},b = {y}^{n},c = {z}^{n} \). 
\pause
 可从下式估计 \( \operatorname{rad}\left( {abc}\right)  = \operatorname{rad}\left( {{x}^{n}{y}^{n}{z}^{n}}\right) \) :
 \[
 \operatorname{rad}\left( {{x}^{n}{y}^{n}{z}^{n}}\right)  = \operatorname{rad}\left( {xyz}\right)  \leq  {xyz} < {z}^{3}.
\]
\pause
 等式 \( \operatorname{rad}\left( {{x}^{n}{y}^{n}{z}^{n}}\right)  = \operatorname{rad}\left( {xyz}\right) \) 成立是因为整除 \( {x}^{n}{y}^{n}{z}^{n} \) 的素数和整除 \( {xyz} \) 的素数是一样的。
 上式中第一个不等式成立是因为 \( \operatorname{rad}\left( m\right)  \leq  m \) 对任意正整数 \( m \) 成立，后一个不等式成立是
 因为 \( x \) 和 \( y \) 都是正数，并且 \( x < z,y < z \).

 \pause
 现在应用 \( {abc} \) 猜想并注意到 \( \max \left( {\left| a\right| ,\left| b\right| ,\left| c\right| }\right)  = {z}^{n} \),
 于是对于任意实数 \( \varepsilon  > 0 \),
 都存在一个常数 \( K( \varepsilon )  > 0 \), 使得
 \[
 {z}^{n} \leq  K( \varepsilon ) {\left( {z}^{3}\right) }^{1 + \varepsilon }. 
 \]
 \pause
 如果令 \( \varepsilon  = 1/6,n \geq  4 \),
 则很容易得到 \( n - 3\left( {1 + \varepsilon }\right)  \geq  n/8 \). 进而可推出
 \[
 {z}^{n} \leq  K{\left( 1/6\right) }^{8}, 
 \]
 其中 \( K\left( {1/6}\right) \) 是对应于 \( \varepsilon  = 1/6 \) 的常数 \( K\left( \varepsilon \right) \). 
 \pause
 所以 \( z \leq  K{\left( 1/6\right) }^{8/n} \). 因此，当 \( n \geq  4 \) 时，
 \( {x}^{n} + {y}^{n} = {z}^{n} \) 的解 \( x,y,z \) 都小于一个固定的上界。 
\pause
 进而，该方程只存在有限个解。
 \end{example}
 \end{frame}

\iffalse
\subsection*{5.2.1 Fermat 大定理介绍}
古希腊数学家 Diophantus (Diophantus of Alexandria, 生于约 201 至 215 年间， 84 岁逝于约 285 至 299 年间), 著有名著 Arithmetica (《算术》) 13 卷， 被称为代数之父。 此书历尽战乱， 其残本 6 卷在 1453 年君士坦丁堡被土耳其人攻陷时随大批学者难民流散到欧洲， 被“黑暗时代”之后的欧洲重新“发现”. 1621 年新出版了 Bachet(巴歇)的拉丁文新译本。

Fermat 是法国图卢兹(Toulouse)镇的律师， 喜欢数学， 基本未发表过论文，但在数学多个领域做出奠基性贡献。大约 1637 年，《算术》残本的 Bachet 译本摆上了 Fermat 的书桌。 他在该书第 2 卷第 8 题， 关于勾股数问题的页边上， 用拉丁文写下猜想：

“分一个立方为两个立方之和， 或分一个四次方为两个四次方之和，或更一般地， 分任一个高于二次的方幂为两个同次方幂之和， 均不可能。 对此我已发现了真正奇妙的证明， 但此页边太窄写不下。"

(For this I have discovered a truly marvellous proof, which this margin is too narrow to contain. )

最后这句话成为名言。 1670 年， Fermat 的长子 Samuel 将 Fermat 的共 48 个页边注记和猜想， 随同《算术》的 Bachet 拉丁文译本一起再次出版， 公开于世。

Fermat 的其他猜想陆续被解决（只有一个猜想是错的：Fermat 数 $2^{2^{n}}+1$ 都是素数。 因为 $\left.641 \mid 2^{32}+1\right)$. 但上述 $x^{n}+y^{n}=z^{n}(n \geqslant 3)$ 无非零整数解的猜想， 是最后一个经众多大数学家长期攻击而不解的猜想 (故称为 last).

从 1637 年到 1847 年， 200 多年间， Fermat 大定理只被证明了四种情形： $n=4,3,5,7$. Fermat 本人 (1640) 证明了 $n=4$ 情形; Euler (1749) 基本证明了 $n=3$ 情形 (因他未加证明而使用了 “ 3 次分圆整数可以唯一因子分解”, 幸而后来人们证实这是正确的); 而 $n=5$ 情形由 S. Germain (热尔曼)（对 $5 \nmid x y z$ 情形), Legendre 和 Dirichlet(1825-1827) 证明; Lamé(拉梅) (1839) 证明了 $n=7$情形。

自从 $n=4$ 的情形被证明， Fermat 大定理归结为对奇素数 $p$ 证明如下 Fermat 方程无非零整数解：
\[
x^{p}+y^{p}=z^{p}
\]
在 1847 年 3 月 1 日， Lamé 在巴黎科学院发表演讲， 宣布证明了 Fermat 大定理。 方法是将上式用复数分解为
\[
z^{p}=x^{p}+y^{p}=(x+y)(x+\zeta y)\left(x+\zeta^{2} y\right) \cdots\left(x+\zeta^{p-1} y\right)
\]
其中 $\zeta$ 是 $p$ 次复单位根， 满足 $\zeta^{p}=1 \neq \zeta$, 即 $\zeta=\cos (2 \pi / p)+i \sin (2 \pi / p)$. 此 $\zeta$ 的整系数多项式被称为 “分圆整数”. Lamé 用这种数的唯一因子分解， 推导出右边的 $p$ 个因子
\[
\left(x+\zeta^{k} y\right)(0 \leqslant k<p)
\]
是两两 “互素的”，而积为 $p$ 次幂，故每个因子都是 $p$ 次幂 (犹如 $6^{p}$ 的两个因子是 $2^{p}, 3^{p}$ ); 再用 Fermat 递降法导出矛盾， 从而证得 Fermat 大定理。 这立刻激
起持续的争论， Liouville(刘维尔)等反对， Cauchy(柯西), Wantzel(旺策尔)等热情支持并忙于写作宣示优先权。 激烈混乱的争论一直到 1847 年 5 月 24 日， Liouville 宣读德国的 Kummer(库默尔)来信说：“分圆整数”没有唯一分解性质， 随信附上了他三年前发表的证明; 不过这可以通过他引人的“理想数”来挽救， “理想数”满足唯一分解律; 用 “理想数”可证明 Fermat 大定理的 $n \leqslant$ 100 的情形(除 $37,59,67$ 外). Kummer 来信震惊了巴黎科学院。 它宣布了由 “数”到 “理想”的历史性转折， 宣布了现代数论时代的到来， 宣布了世界数学中心由法国从此转移到德国。

Kummer(Ernst Eduard Kummer, 1810-1893)创立的 “理想” (ideal)理论和对分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta)$ (即 $\zeta$ 的有理式全体)的研究， 后由德国的 J. W. R. Dedekind(戴德金)（1831-1916), Dirichlet, Hilbert（希尔伯特）, Hensel, Hasse (哈塞)等逐步发展到一般数域(即包含 $\mathbb{Q}$ 的域)和赋值完备化、除子理论等现代数论。 数论的发展极大地推动了 Fermat 大定理的研究， 得到许多丰富的理论和结果。例如， 以下的每一个都是 Fermat 大定理成立的充分条件：

(1) $h(p)$ 不是 $p$ 的倍数， 其中 $h(p)$ 是 $Q(\zeta)$ 的理想类数 (见 §7.5).

(2) Bernoulli(伯努利) 数 $B_{2}, \cdots, B_{p-3}$ 均非 $p$ 的倍数。

(3) $B_{2 p}, \cdots, B_{(p-3) p}$ 均非 $p^{3}$ 的倍数， 且 $\mathbb{Q}(\zeta)$ 的最大实子域的类数非 $p$ 的倍数。 这里 Bernoulli 数由下式定义：
\[
\frac{t}{\mathrm{e}^{t}-1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_{k}}{k!} t^{k}
\]
Fermat 大定理的证明在历史上曲折艰难， 不断掀起热潮巨澜。 顶尖的数学家 Gauss, Cauchy 等都曾热衷， 而终无可奈何。 法国巴黎科学院为此两设大奖：1816 年， 1850 年。

特别应提到 Paul Wolfskehl(沃尔夫斯克尔), 曾迷恋美女失恋， 计划到夜半自杀， 在等待自杀时刻的时候随手翻到数学书， 看到 Fermat 大定理， Kummer 否定 Lamé 的一段， 被深深吸引， 他发现有望补救漏洞完成证明。 紧张地推演， 不觉黎明已至， 东天大亮， 忘了自杀。 这时他也根本不想自杀了，从数学中感受到了自信和人生的意义。 后来他人生很成功， 将毕生大部分财产为 Fermat 大定理设立大奖十万马克， 奖期 100 年 (1908-2007). 这笔储金年息很大， 用于哥廷根的学术活动。 所以当有学生问 Hilbert 为什么不证明 Fermat 大定理时， Hillbert 幽默以答：为什么要杀掉这只会下金蛋的鹅呢? 在奖金即将到期的时候， Wiles 夺得这世纪的桂冠。

1983 年 5 月，一个重大新闻传遍了世界：德国 29 岁的 G. Faltings 证明了

Mordell 猜想 (Mordell conjecture). 这是 1922 年提出的著名 Mordell 猜想：

“甹格大于 1 的代数曲线， 只有有限个有理点。”

大意是这样：次数大于 3 的有理系数多项式定义的光滑曲线上， 坐标为有理数的点只有有限多个。 亏格 (genus) 是正整数， 是代数曲线的重要不变量，对于 $n$ 次光滑 (即处处有切线) 的曲线， 其亏格为
\[
g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}
\]
所以 1 次和 2 次曲线的亏格为 0,3 次曲线的亏格为 1,4 次以上曲线亏格 $\geqslant 2$ (对于不光滑的曲线， 亏格要在上述公式中减去一些数). 在此之前， 数学界普遍认为此猜想几乎不可能得到证明。 所以当刚得到博士学位 5 年的 Faltings 证出之后， 引起极大震动。

由 Faltings 的结果可直接推知：Fermat 的方程最多存在有限多个整数解 (Fermat 原来是断言此方程没有非零整数解). 事实上， Fermat 大定理可改述为： $x^{n}+y^{n}=1$ 没有非零有理解 (即坐标为有理数的解). Faltings 对 Mordell 猜想的证明， 使得数学界对 Fermat 大定理的证明信心大增。

到 1993 年， 证明到 $n<400$ 万情形。 但 Fermat 大定理始终不能被攻下， 证明屡被宣布又屡被证伪， 惊心动隗。

真正的重大转机出现在 1985-1986 年。 1985 年， Gerhard Frey (弗雷) 猜测：假如
\[
a^{n}+b^{n}=c^{n}(n \geqslant 3)
\]
成立，那么由此得出的“假设的 Frey 曲线(Frey 椭圆曲线)”
\[
E: y^{2}=x\left(x+a^{n}\right)\left(x-b^{n}\right)
\]
将不符合谷山(丰)-志村 (五郎)猜想 (Taniyama-Shimura conjecture)（此猜想是：所有椭圆曲线都是模曲线。 模曲线即上半复平面模一个二阶整系数方阵构成的模群的子群的作用， 其点对应椭圆曲线的同构类集(带某些性质)). 换句话说， Frey 猜测：若谷山丰是正确的， 则 Fermat 也是正确的。 1986 年夏， Kenneth A. Ribet(瑞拜特)证明了 Frey 的猜测 (他证明了 Frey 椭圆曲线不是模的).

Andrew John Wiles 一听说 Ribet 的结果，立刻暗下决心实现他童年的梦想。他在自家顶楼上潜心七年， 几乎切断与外界一切联系， 终于在 1993 年 6 月 23 日， 在英国剑桥大学宣布证明了 Fermat 大定理， 立刻震动了世界。 但数月后，一个疑问无论如何解答不了， 又经过一年的挣扎都告失败。 但在 1994 年 9 月 19 日早晨， Wiles 突然在思维的闪电中找到了迷失的钥匙， 成功就在失败的
废墟之中！10 月 6 日他把证明完稿送给爱妻 Nada(娜妲)作生日礼物一一去年今日他曾允而留憾。 Nada 在他刚开证时与之结婚， 多年来是他秘密工作的唯一共悲欢者。 Wiles 的长文《模椭圆曲线和 Fermat 大定理》发表在美国《数学年刊》第 142 卷 (1995 年 5 月), 占满了全卷。 Wiles 先后毕业于英国牛津大学和剑桥大学， 在美国普林斯顿大学工作， 以此成为现代最伟大的数学家。

Wiles 的论证属于代数数论和算术代数几何， 主要用到椭圆曲线的数论理论。 椭圆曲线就是 “亏格为 1 的光滑射影曲线”. 粗略地说， 就是 3 次或 4 次曲线一一主要考虑它的有理点集合。 例如， $y^{2}=x^{3}-x$ 的解集合就是一条椭圆曲线。一条椭圆曲线 $E$ 的复数点 (坐标为复数的点) 集合 (记为 $E(\mathbb{C})$ ) 是一个环面 ( torus, 即形如救生圈一样的封闭圆环面); 而其实数点集合 (记为 $E(\mathbb{R})$ ) 是平面上的曲线 (如 5.1 图 2 所示); 其有理点集合 (记为 $E(\mathbb{Q})$ ) 是一个 Abel 群， 是由有限个元素生成 (称为 Mordell-Weil(韦伊)群). 当然还要研究椭圆曲线在其他域或环上的点， 例如代数整数点。 椭圆曲线意义重大， 还用它证明出了 Gauss 猜想等， 基于椭圆曲线的 $\mathrm{ECC}$ 信息加密算法是新一代最佳算法。 我们将在附录 6 中进一步简要介绍椭圆曲线和 Fermat 大定理的证明。
\fi

\begin{frame}
  \begin{comment*}%评述
  Fermat 大定理谱写了 358 年曲折的传奇， 极大地推动了包括初等数学到现代主流数学的发展， 催生了理想论代数数论和算术代数几何的理论和方法理念， 体现了人类追求真理的永恒不屈精神， 也实证了现代高度抽象数学的威力、科学性、实在性和实用性， 实证了真理是可以认识的， 人类的认知是无界的。论数者单赞这 “Fermat 大定理之传奇”曰：
\begin{poem}
费马一猜三百年， 几代天才凋朱颜！\\
库默信来惊鸽尾， 怀斯春去献婵娟。\\
缪斯痴子志怀远， 胜利女神召向前。\\
漫言理想是虚幻， 时乘六龙以御天。
\end{poem}
\end{comment*}\end{frame}



\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 无限下降法的想法是？
    \item 何为abc猜想？粗略解释下如何应用abc猜想证明$x^n+y^n=z^n$ ($n\geqslant 4$) 的非平凡解的个数的有限性。
  \end{enumerate}
\end{frame}
